Auto in Hamburg kaufen und über Mutter im anderen Bundesland zulassen und versichern?

Es ist möglich. Der Kaufvertrag hat bei der Zulassung keine Relevanz. Man braucht nur die nötigen Papiere wie Coc-Papier, Personalausweis, die elektronische Versicherungsbestätigung von der Versicherung (früher Doppelkarte), TÜV Papiere (bei Neuwagen nicht), Fahrzeugbrief, evtl. Zulassung, Einzugsermächtigung der Kfz-Steuer.

http://www.autobild.de/artikel/kfz-zulassung-1792879.html

Was die Bank anbetrifft, so ist ja ihre Mutter der Versicherungsnehmer und sie der Mitbenutzer des Autos.
Nur wie kommen sie dann von ihren Prozenten bei der Versicherung herunter? Das bleibt mir ein Rätsel.
Außerdem muss ihre Mutter sie dann noch mit als Fahrzeugbenutzer bei der Versicherung mit angeben, denn sonst stellt sich die Versicherung im Schadenfalle quer.
Ich würde das Auto auf ihren Namen zulassen und versichern, denn dann kommen sie schneller auf ein niedrigeres Versicherungsprozentniveau durch mehr schadensfreie Jahre (SF) und sparen im Endeffekt. Oder wollen sie ihr ganzes Leben das Auto auf Ihre Mutter zulassen? So ein Quatsch. Man muss doch auf eigenen Beinen stehen und sich nicht immer auf Andere verlassen.

Das ist kein Problem, alles machbar und völlig legal.
Man muss in Sachen Auto unterscheiden zwischen

• Eigentümer: Derjenige, der den Kaufvertrag unterschrieben hat. Er kann vollständig über das Auto verfügen.

• Halter: Die Person, auf die das Auto straßenverkehrsrechtlich zugelassen wird. Das Eigentum am Auto ist hierbei nicht entscheidend! Der Halter ist die Person, die das Kfz. für eigene Rechnung gebraucht, nämlich die Kosten bestreitet, für den verkehrssicheren Zustand verantwortlich ist und die Verwendungsnutzung zieht, somit auch bestimmen darf, wer mit dem Fahrzeug fährt. Zudem ist er Ansprechperson für alles Amtliche, das mit dem Auto zu tun hat.
  Der Fahrzeugbrief ist nichts anderes als der Nachweis der gültigen Betriebserlaubnis für dieses eine Fahrzeug, kein Eigentumsnachweis.

• Besitzer: Jede Person, die das Auto fährt, also in Besitz hat, ob berechtigt oder nicht.

Diese drei können ein und dieselbe Person, zwei oder auch drei Personen sein. Als Vierter käme noch ein Versicherungsnehmer infrage, der die Prämie zahlt.

Beispiel: Ich kaufe für unseren Sohn beim Händler ein Auto, mit der Unterschrift unter den Kaufvertrag bin ich der Eigentümer des Autos.
Es wird auf meine Frau zugelassen, sie ist Halterin, aber nicht Eigentümerin.
Sohn fährt das Auto und ist dann dessen Besitzer, aber weder Halter noch Eigentümer.
Opa zahlt die Versicherung und ist lediglich Versicherungsnehmer, mehr nicht.
Es kann sein, dass die Versicherungsprämie in diesem Fall höher ist als wenn Halter und VN identisch sind. Und es muss auch klar sein, dass alle Knöllchen etc. an die Mutter als Halterin geschickt werden, die erfährt also alle Sünden... insofern wäre auch deshalb eine Übernahme des Autos auf den, der ihn auch fährt, sinnvoll, wie oben genannt.