Wenn der Anlasser nicht mal dreht, ist entweder der Akku platt (entladen/defekt) oder der Anlasser selbst bzw. dessen Magnetschalter oder auch "Dickstromzuleitungen" sind marode.
Evtl. liegts aber auch an einem defekten Überhubkontakt (zur Anlasserbetätigung) des Zündanlasschalters hinterm Zündschloss.
In all diesen Fällen - außer einem komplett entladenen Akku (Autobatterie) - ist das von Dir beschriebene Szenario zutreffend, dass das Auto durch Anschieben bei anschließendem Einkuppeln im (am besten) 2. Gang ziemlich schnell dann doch anspringt.
Falls der Akku ratzebutz leer ist, lasse vor dessen Wechsel zunächst mal von einem Fachmann überprüfen, ob der Generator (salopp: Lichtmaschine)überhaupt bei laufendem Motor (nach Anschieben 😉 ) den Akku lädt ... und vielleicht erst mal Sichtkontrolle machen, ob nicht auch der den Generator antreibende Keil- bzw. Flachrippenriemen abgesprungen oder gerissen ist; in beiden Fällen müsste dann jedoch auch bei laufendem Motor die rote Ladekontrollleuchte im Cockpit leuchten.